Locker problem:
"English follows"
L'astuce générale :
On remarque qu'au début tous les casiers sont ouverts, et leur état change en fonction du nombre d’élèves qui les touchent (changer d'état : ouvre ou ferme). Par exemple, un casier touché deux fois reviendra à son état initial (ouvert). S'il est touché trois fois, il sera dans l'état contraire de l'état initial (fermé). On peut donc constater que si un casier est touché un nombre pair de fois, il revient à son état initial (ouvert), et s'il est touché un nombre impair de fois, il passe à l'état contraire (fermé).
Comment calculer le nombre de fois où le casier est toucher :
Tout simplement, chaque casier sera touché par l'étudiant dont son numéro est un diviseur du numéro du casier. Par exemple, l'élève numéro 1 touchera tous les casiers, car 1 est un diviseur de tous les nombres entiers. Autre exemple : le casier #8 sera touché par les étudiants #1, #2, #4 et #8 (car ces nombres sont des diviseurs de 8). Ensuite, on comptera le nombre de diviseurs pour chaque casier, ce qui correspond au nombre de fois où le casier a été touché (ou changé d'état). Si ce nombre est pair, le casier sera dans son état initial (ouvert) ; s'il est impair, il sera dans l'état contraire (fermé).
En mathématiques, on sait que pour tous les nombres entiers, les diviseurs viennent généralement en paires, car chaque diviseur forme une paire avec un autre diviseur. Par exemple, pour 36, les paires de diviseurs sont :
(1, 36)
(2, 18)
(3, 12)
(4, 9)
(6, 6)
Normalement, il y a 10 diviseurs, car il y a 5 couples, mais un couple contient les mêmes nombres (6, 6), car 36 est un carré parfait. Donc, il n'y a que 9 diviseurs, et comme 9 est impair, le casier numéro 36 sera fermé.
En conclusion, les casiers dont les numéros ont un nombre pair de diviseurs sont ouverts, tandis que les casiers dont le nombre de diviseurs est impair (les carrés parfaits) sont fermés.
Les carrés parfaits entre 1 et 1 000 sont : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961 se sont les numéros des casiers fermés et les reste sont ouverts
English
The general tip:
We notice that at the beginning all the lockers are open, and their state changes depending on the number of students who touch them (change state: open or close). For example, a locker touched twice will return to its initial state (open). If it is touched three times, it will be in the opposite state of the initial state (closed). We can therefore see that if a locker is touched an even number of times, it returns to its initial state (open), and if it is touched an odd number of times, it goes to the opposite state (closed).
How to calculate the number of times the locker is touched:
Quite simply, each locker will be touched by the student whose number is a divisor of the locker number. For example, student number 1 will touch all the lockers, because 1 is a divisor of all integers. Another example: locker #8 will be touched by students #1, #2, #4, and #8 (because these numbers are divisors of 8). Then, we will count the number of divisors for each locker, which corresponds to the number of times the locker has been touched (or changed state). If this number is even, the locker will be in its initial state (open); if it is odd, it will be in the opposite state (closed).
In mathematics, we know that for all integers, divisors generally come in pairs, because each divisor forms a pair with another divisor. For example, for 36, the pairs of divisors are:
(1, 36)
(2, 18)
(3, 12)
(4, 9)
(6, 6)
Normally, there are 10 divisors, because there are 5 pairs, but one pair contains the same numbers (6, 6), because 36 is a perfect square. So, there are only 9 divisors, and since 9 is odd, bin number 36 will be closed.
In conclusion, bins whose numbers have an even number of divisors are open, while bins whose numbers have an odd number of divisors (perfect squares) are closed.
The perfect squares between 1 and 1000 are: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961 are the numbers of the closed lockers and the rest are open
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